Опорні конспекти лекцій з фізики РЕСУРС: fizmat.7mile.net

ОБЕРІТЬ РОЗДІЛ

  ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

Розподіл електронів провідності в металі за енергіями. Енергія Фермі

Метал для вільних електронів є своєрідною потенціальною ямою, вихід з якої вимагає затрати енергії на подолання сил зв’язку, що ут­римують електрони в металі. На рис. 349 наведена схема такої потенціальної ями. Горизонтальними лі­ніями показані енергетичні рівні, які можуть займати електрони. Розподіл електронів на різних енергетичних рівнях здійснюється за принципом Паулі, згідно з яким на одному рівні не може бути двох або більше однакових (з однаковим набором чотирьох квантових чисел) електронів, вони повинні відрізнятися якоюсь характеристикою, наприклад, напрямком спіну. Отже, за квантовою теорією, електрони в металі не можуть розміщуватися на найнижчому енергетичному рівні навіть при температурі Т=0 K. Принцип Паулі вимушує електрони підніматися вгору по „енергетичній драбині”. Якщо електронний газ містить N електронів, то останнім зайнятим виявиться рівень .

Найвищий енергетичний рівень, зайнятий електронами, при Т=0 K називається рівнем Фермі для виродженого електронного газу.

Рівень Фермі відповідає максималь­ній кінетичній енергії , яку може мати електрон в металі при абсолютному нулі. Її називають енергією Фермі.

Рівень Фермі буде тим вищим, чим більша густина електронного газу. Роботу виходу електрона з металу треба відраховувати не від дна потенціальної ями, як це робилось в класичній теорії, а від рівня Фермі.

Електрони провідності в металі можна розглядати як ідеальний газ, що описується розподілом Фермі-Дірака. Середнє число  електронів у квантовому стані на енергетичному рівні з енергією Е дорівнює

.

При абсолютному нулі всі стани з енергією  зайняті електронами, стани з енергією  вільні. Іншими словами, при T=0 K ймовірність заповнення електронами станів з енергією  дорівнює 1, ймовірність заповнення станів з енергією  дорівнює нулю:

Щоб отримати цей результат з допомогою розподілу Фермі-Дірака, необхідно вважати, що при T=0 K хімічний потенціал електронного газу, який відрахований від дна потенціальної ями, дорівнює енергії Фермі :

.

Тоді

.

Якщо , то при Т=0 K

   і   .

Якщо , то при Т=0 K

   і   .

На рис. 350 наведений графік функції розподілу Фермі-Дірака при абсолютному нулі. Він має вигляд сходинки, що обривається при

.

Повна функція розподілу Фермі-Дірака при абсолютному нулі (<N(E)>=1):

.

Інтегруючи цей вираз, отримаємо

.

Звідси визначаємо енергію Фермі :

,

де  - концентрація електронного газу в металі.

 

Введемо температуру Фермі, яка визначається із співвідношення , де k – стала Больцмана. Вона показує, при якій температурі невироджений газ з масою молекул, що дорівнює масі електрона, мав би енергію теплового руху kT, що дорівнює енергії Фермі. Для електронів в металі . Жоден метал при таких температурах не може існувати в твердому стані. Тому для всіх температур, при яких метал може існувати у твердому стані, електронний газ у металі – вироджений.

При температурі  якщо , функція розподілу Фермі-Дірака . Отже, зі статистичної точки зору ймовірність заповнення рівня Фермі при  дорівнює .

При підвищенні температури елек­трони зазнають теплових збуджень і переходять на вищі енергетичні рівні, внаслідок чого змінюється характер їх розподілу за станами. При кімнатній температурі , а енергія Фермі EF=3–10eB. В інтервалі температур, в якому енергія kT теплового руху значно менша, теплових збуджень можуть зазнавати електрони лише вузького прошарку kT, розміщеного безпосередньо біля рівня Фермі (рис. 351). Енергія kT теплового руху недостатня для збудження елек­тронів глибоких рівнів.

В результаті теплового збудження частина електронів, що мають енергію, меншу , переходить на рівні з енергією, більшою від , встановлюється новий їх розподіл за станами. На рис. 352 показані криві розподілу електронів за станами при T=0 K (крива 1) і при T>0 K (крива 2).

 

Підвищення температури викликає розмивання розподілу на глибину kT і появу „хвоста” розподілу BC, що розміщується правіше . У першому випадку середнє число електронів менше від одиниці, а в другому – більше від нуля. Чим вища температура, тим суттєвіше змінюється функція розподілу. Сам „хвіст” BC описується уже максвеллівським розподілом.

На рис. 352 заштриховані площі, пропорційні до кількості електронів , що покидають стани з енергією  (площа ABD) і що переходять на рівні, які розміщені вище  (площа BC). За величиною ці площі рівні, оскільки вони виражають одне і те ж число електронів.

При кімнатній температурі , при Т=1000 K   .

Тому у всьому діапазоні температур, в якому електронний газ в металі є виродженим, його розподіл мало відрізняється від розподілу при абсолютному нулі.

 

Якщо , то одиницею в знаменнику можна нехтувати порівняно з експонентою і тоді розподіл Фермі-Дірака переходить у розподіл Максвелла-Больцмана:

.

Отже, при , тобто при високих температурах до електронів в металі застосовна класична статистика, в той час коли , до них застосовна лише квантова статистика Фермі-Дірака.

Невиродженим електронним газом є сукупність вільних електронів у власних напівпровідників.

Із цим матеріалом переглядають:

ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

1.      Поняття про квантові статистики Бозе-Ейнштейна і Фермі-Дірака.

2.      Розподіл електронів провідності в металі за енергіями. Енергія Фермі.

3.      Енергетичні зони в кристалах.

4.      Розподіл електронів по енергетичних зонах. Валентна зона і зона провідності. Метали, діелектрики і напівпровідники.

5.      Власна провідність напівпровідників.

6.      Домішкова провідність напівпровідників.

7.      Р-n перехід і його вольт-амперна характеристика.

8.      Люмінесценція твердих тіл.

9.      Історична довідка.

ПОПЕРЕДНЯ        ЗМІСТ      НАСТУПНА

Рекомендований контент:

Щоб забезпечити вам кращий онлайн-досвід, цей веб-сайт використовує файли cookie.

Використовуючи наш веб-сайт, ви погоджуєтесь на наше використання файлів cookie Детальніше про cookies

РЕСУРС: fizmat.7mile.net